Prove que você pensa diferente

Maria é uma trader em uma mesa de execução e precisa liquidar uma posição comprada de $V$ ativos ao longo de um dia de pregão. Ela decidiu fatiar a venda em $k$ ordens a mercado, executadas nos instantes $t=0,1,2,…,k−1$, com tamanhos $v_0, v_1,...,v_{k-1}$​ que ela pode escolher livremente, desde que a soma seja igual à posição total.

Três fricções pesam contra Maria:

1. Impacto temporário. Quando ela vende uma fatia de tamanho $v_i$​, sua própria ordem empurra o preço para baixo durante a execução. A fatia é executada ao preço $pi−\lambda v_i$, onde $\lambda >0$ está relacionado com a liquidez do mercado nesse instante. O impacto é temporário, ou seja, o livro se recompõe entre as fatias e a próxima execução não herda esse impacto.

2. Drift adverso. Maria está vendendo um ativo que, na sua tese, está sobrevalorizado. O preço de referência cai linearmente ao longo do dia: $p_i=p_0−\mu i$, com $\mu > 0$. Quanto mais ela demora para zerar a posição, pior o preço médio que captura.

3. Custo de carregamento. Manter uma posição aberta tem custo. Assuma que a trader paga uma taxa $\gamma$ por ativo por período sobre o estoque ainda não liquidado. Considere que o custo $\gamma S_i$ é calculado no início do período $i$, ou seja, $S_i = V - \sum_{j=0}^{i-1}v_j$.

Considerando que o número de fatias $k$ é fixo (Maria já decidiu o cronograma), como ela deve dimensionar cada fatia $v_0, v_1,...,v_{k-1}$ para maximizar o lucro líquido da operação?

Considere:

$V=100.000$ ativos

$p_0=35$ R$ / ativo

$\lambda=5 \times 10^{-6}$ R$ / ativo

$\mu=0,001$ R$ / ativo / período

$\gamma=0,0005$ R$ / ativo / período

$k=20$ períodos

Na sua resposta, informe o valor $\frac{v*_{k-1}}{v*_0}$ contendo 8 casas decimais de precisão.